Akceptuję
W ramach naszej witryny stosujemy pliki cookies w celu świadczenia państwu usług na najwyższym poziomie, w tym w sposób dostosowany do indywidualnych potrzeb. Korzystanie z witryny bez zmiany ustawień dotyczących cookies oznacza, że będą one zamieszczone w Państwa urządzeniu końcowym. Możecie Państwo dokonać w każdym czasie zmiany ustawień dotyczących cookies. Więcej szczegółów w naszej Polityce Prywatności

Zamknij X
Strona główna Felieton

Analogowy kalkulator



Czy ktoś jeszcze pamięta, jak wygląda suwak logarytmiczny? Wiele osób niepoprawnie nazywa go linijką, bo przypomina linijkę. Ale to bardzo niezwykła i wielofunkcyjna linijka, a jej możliwości obliczeniowe dorównują współczesnym kalkulatorom. Mało tego, suwak nie potrzebuje żadnego zasilania do wykonywania obliczeń.

W lipcu 1614 r. w Edyn­ burgu Szkot John Napier (1550–1617) opublikował swoje dzieło „Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio”. Istnieją dowody, że Napier zajmował się logarytmami już w 1594 r. Jednak część historyków twierdzi, że to inny człowiek wynalazł logarytmy przed Napierem, a mianowicie szwajcarski matematyk Joost Bürgi (1552– 1632). Jednak Bürgi opublikował swoje ­ dzieło „Tafeln ­arithmetischer und mit einer geometrischer Zahlenfolgen gründlichen Erläuterungen, wie sie zu verstehen sind und werden können gebraucht” sześć lat po publikacji Napiera, w Pradze. Ponieważ sposób przedstawienia logarytmów przez Bürgiego różni się wyraźnie od Napiera, najprawdopodobniej wynaleźli oni logarytmy zupełnie niezależnie od siebie.

W swojej książce Napier zaproponował ciekawą metodę na mnożenie, dzielenie, potęgowanie i pierwiastkowanie. Wszystkie te działania można było zastąpić o wiele łatwiejszym dodawaniem i odejmowaniem, wykorzystując przy tym właśnie logarytmy. Dzieło Napiera rozpowszechnił jeden z najsłynniejszych angielskich matematyków – Henry Briggs, profesor geometrii w Gresham College w Londynie. Gdy otrzymał kopię dzieła Napiera w 1614 r., napisał tak: „Napier skierował moją głowę i ręce do pracy z jego nowymi i niezwykłymi logarytmami. (...) Nigdy wcześniej nie widziałem książki, która tak mnie ucieszyła i wprawiła w podziw”. Briggs natychmiast zaczął popularyzować ideę logarytmów, a później zaproponował, aby podstawę logarytmów można było zmieniać w celu ułatwienia ich użycia. Do obliczeń logarytmicznych trzeba było używać tabel logarytmicznych, które jednak nie zawierały wszystkich możliwych wyników.

Z pomocą przyszedł tu przyjaciel Briggsa – profesor astronomii w Gresham College – Edmund Gunter. Zaproponował skalę, a w zasadzie linijkę logarytmiczną, którą podzielił na sektory. Zastąpiła ona tabele logarytmiczne.

Niedługo potem William Oughtred (1574–1660) – przyjaciel Briggsa i Napiera – stworzył ruchomą linijkę logarytmiczną, którą zaczęto nazywać suwakiem logarytmicznym. Wynalazł również okrągły suwak, działający tak samo, tyle że ruchome skale zostały umieszczone na dwóch kołach. Dzieła te stworzył około 1622 r., ale do wiadomości publicznej podał swoje wynalazki dopiero w 1632 r. w książce „The Circles of Proportion and the Horizontal Instrument”. Zbyt późne opublikowanie pomysłu Oughtreda dało szansę innym na jego wyprzedzenie.

Oughtred prawdopodobnie opisał swoje urządzenia jednemu z uczniów, co doprowadziło do sytuacji, że Richard Delamain (1600–1644), prywatny nauczyciel matematyki Karola I, króla Wielkiej Brytanii i Irlandii, opisał okrągły suwak logarytmiczny w swym dziele „Grammelogia”, które zostało wysłane do króla w 1629 r. i opublikowane rok później. Doprowadziło to do utarczek słownych między Oughtredem i Delamainem, oskarżających się wzajemnie o kradzież wynalazku.

Pierwszy opis logarytmicznej skali Guntera został opublikowany w 1624 r. w Paryżu przez matematyka Edmunda Wingate’a (1596–1656). W 1654 r. Robert Bissaker skonstruował ruchomą linijkę mającą 60 cm długości, o przekroju około 6 cm2 i składającą się z trzech skalowanych drewnianych płytek, dwóch nieruchomych i jednej przesuwanej. To już trochę przypominało współczesny suwak logarytmiczny.

Kolejne ulepszenia

W 1675 r. Isaak Newton za pomocą trzech równoleg­łych skali na suwaku rozwiązuje równania trzeciego stopnia. Sugeruje jednocześnie, aby wprowadzić ruchome okienko ułatwiające odczytywanie wyników. W 1677 r. Henry Coggeshall udoskonala budowę drewnianego suwaka (niestety, z pomysłu Newtona jednak nie korzysta). Suwak Coggeshalla staje się standardem na prawie 200 lat. W 1683 r. Thomas Everard dodatkowo popularyzuje ten suwak, stosując go do pomiarów przy produkcji alkoholi oraz przy liczeniu podatków. Pomysł Newtona został wprowadzony w życie dopiero w 1775 r. przez matematyka Johna Robertsona (1707–1776).

Pod koniec XVIII w. angielski wynalazca James Watt, znany z prac nad silnikiem parowym, skonstruował bardzo dokładny suwak, tzw. Soho. Pierwszy nowoczesny suwak stworzył w 1850 r. Victor Mayer Amédée Mannheim (1831–1906), oficer francuskiej artylerii, dodając do suwaka Watta dwustronną ruchomą skalę.

Potem postęp w rozwoju suwaków był coraz większy. Dorzucano coraz więcej skal (nawet do 20), polepszano jakość użytego materiału, urozmaicano skale, przez co suwaki zaczęto stosować w wielu dziedzinach, m.in. chemii, inżynierii, biologii, fizyce. Również ich kształty i rozmiary zaczęły być bardzo różne.

Na szczególną uwagę zasługują dwa cylindryczne suwaki. Pierwszy to suwak logarytmiczny Fullera z 1860 r. – odpowiednik standardowego suwaka o długości ponad 84 stóp (25 m). Ze względu na cylindryczną budowę dawało się trzymać go w rękach: skala logarytmiczna była owinięta wokół cylindrów lub zwinięta w spiralę. Umożliwiał wykonywanie bardzo dokładnych obliczeń.

Drugi to suwak logarytmiczny Edwina Thachera z 1870 r. Skalę logarytmiczną umieszczono na bębnie i serii poprzeczek. Był on odpowiednikiem standardowego suwaka logarytmicznego o długości 18 m. Również umożliwiał bardzo dokładne obliczenia. Thacher opatentował go w 1881 r., a wyprodukowaniem zajęła się firma Keuffel & Esser w Nowym Jorku około 1887 r.

Zasada działania

Teraz przejdźmy do współczesności, a w zasadzie do wieku XX. Urządzenie w dzisiejszej postaci wykorzystywano przez prawie 150 lat. W latach 80. XX w. suwaki zastąpiono kalkulatorami. Ale niektóre odmiany suwaków są stosowane do dziś, i to w wielu dziedzinach życia. Suwak logarytmiczny umożliwia elementarne obliczenia zawierające mnożenie, dzielenie, logarytmowanie, potęgowanie, pierwiastkowanie. Można również wykonywać za jego pomocą działania na funkcjach trygonometrycznych. Niekiedy ma dodatkowe znaczniki lub skale pozwalające szybko obliczać powierzchnię koła, ciężar i wytrzymałość prętów itp.

Dokładność obliczeń jest różna w poszczególnych przypadkach. Przeciętnie wyniki otrzymane za pomocą suwaka logarytmicznego o długości 25 cm odpowiadają obliczeniom w trzecim stopniu dokładności – błąd względny zawiera się między 0,1% a 1%.

Urządzenie przypomina linijkę, ale z nieco inną skalą, tzw. skalą logarytmiczną. Sumuje się tutaj logarytmy poprzez dodawanie różnej długości odcinków zaznaczonych na skali. Jest to praktyczne wykorzystanie znanego wzoru:

log (ab) = log (a) + log (b)

Jak konstruuje się skalę logarytmiczną? Otóż należy obrać jednostkę długości, np. 25 cm. Od początkowego punktu skali odmierzamy odcinki, których miary przy przyjętej jednostce długości są równe logarytmom dziesiętnym pewnego ciągu liczb, przy czym odmierzając, odcinek loga piszemy przy jego końcu liczbę a.

Przy punkcie początkowym należy umieścić liczbę  1, gdyż log1 = 0. W ten sposób na skali logarytmicznej odległość od punktu 1 do punktu a wynosi w obranej skali loga.

Wiemy, że log10a = 1 + loga, to każdej liczbie z przedziału od 10 do 100 odpowiada na skali logarytmicznej liczba 10 razy od niej mniejsza. Rozumowanie to może być przeprowadzone także dla każdego przedziału od 10na do 10n+1a. Zatem odcinek równy przyjętej jednostce długości i odpowiadający przedziałowi liczb od 1 do 10 reprezentuje całą nieskończoną skalę logarytmiczną. Liczbom o jednakowym układzie cyfr, lecz różniącym się tylko o czynnik 10n, np. 6,03; 0,0603; 60300, odpowiada na skali ten sam punkt 6,03.

Skale suwaka

Suwak logarytmiczny składa się z części stałej w postaci linijki, wysuwki poruszającej się w wyżłobieniach linijki oraz okienka ruchomego ze szkiełkiem, na którym zaznaczone są jedna lub trzy rysy. Poniżej standardowe skale. 

K – skala sześcianów liczb, służy jednocześnie do obliczania pierwiastków trzeciego stopnia

A – skala kwadratów liczb, służy jednocześnie do ­ obliczania pierwiastków kwadratowych

B – zdublowana skala kwadratów

I – skala odwrotności (1/x), skierowana w przeciwną stronę (najczęściej oznaczana kolorem czerwonym)

C – podstawowa skala rachunkowa

D – podstawowa skala rachunkowa (jak i powyżej), na niej zazwyczaj rozpoczyna się rachunek

L – skala logarytmów (mantys)

 

Na odwrotnej stronie wysuwki umieszczona jest skala logarytmiczna dla funkcji trygonometrycznych:

S – sin (sinus)

S&T – sin/tg

T – tg (tangens)
 

Na skali T punkt początkowy umieszczony jest na prawym końcu; odpowiada mu kąt 45°, gdyż logtg45° = 0. Punktom skali odpowiadają kąty T° mniejsze od 45°, a więc logtgT° < O. Odległość punktu T° od punktu początkowego wynosi |logtgT°| przy obranej jednostce długości. Na lewym końcu skali leży taki punkt To1, dla którego logtgTo1 = -1.

Na skali S punktowi początkowemu umieszczonemu na końcu skali odpowiada kąt 90°, gdyż logsin90° = 0. Odległość So od punktu początkowego wynosi |logsinSo| przy obranej jednostce długości. Na lewym końcu skali leży punkt So1, dla którego logsinSo1 = -1.

Dla kątów mniejszych od 5°44” wartości sinusa i tangensa pokrywają się w granicach dokładności suwaka, dlatego utworzona została wspólna skala S&T.

Ważne zasady

Aby rozpocząć jakiekolwiek obliczenia na suwaku, należy zapoznać się z jego skalami, długością suwaka. Sposób rachowania polega na ustawieniu dwóch liczb jednej naprzeciw drugiej na dwóch różnych skalach i odczytaniu wyniku w określonym punkcie jednej skali położonym naprzeciw określonej liczby drugiej skali.

Ważne zasady przy korzystaniu z suwaka

  1. Suwak daje tylko układ cyfr wartościowych i za każdym razem trzeba dobrać odpowiedni czynnik 10n (gdzie n jest liczbą całkowitą), czyli ustalić miejsce przecinka dziesiętnego. W tym celu najlepiej oszacować w pamięci wynik z grubsza, aby oszacować rząd wielkości wyniku.
  2. Przy obliczeniach złożonych nie odczytuje się pośrednich wyników, ale tylko nastawia się na nie każdorazowo środkową rysę ruchomego okienka. Dlatego należy tak dobierać porządek obliczeń, aby wyniki kolejnych działań lub grupy działań były odczytywane na skalach nieruchomych, a nie na wysuwce.
  3. W przypadku gdy punkt a wysuwki, naprzeciw którego ma się znaleźć wynik na skali nieruchomej, wychodzi poza granicę tej skali, należy nastawić rysę okienka na jeden z końców skali, wysuwki, a następnie przerzucić wysuwkę w taki sposób, aby pod rysą okienka znalazł się drugi koniec skali wysuwki. Wówczas szukany wynik, który ma być na wprost punktu a podziałki, okaże się w granicach skali nieruchomej i zostanie odczytany.

Suwak logarytmiczny to nie tylko prosty mechanizm do liczenia, ale urządzenie, które wymusza na nas myślenie, tworzenie pewnych strategii, uczy dokładności. Współczesne kalkulatory już tych cech – niestety – nie mają.


Autor: Tomasz Grębski

Więcej w miesięczniku „Wiedza i Życie" nr 06/2015 »

Tagi: suwak logarytmiczny, kalkulator, matematyka, skala
Drukuj PDF
wstecz Podziel się ze znajomymi

Informacje dnia: Ograniczenie soli w diecie może być groźne Nie mam jeszcze wniosków na temat pochodzenia Covid-19 Najdokładniejsze systemy satelitarnego transferu czasu Ponad połowa chorych z SARS-CoV2 cierpi na długi covid Zintegrować informacje o logistyce Wystawa "Nie to niebo" Ograniczenie soli w diecie może być groźne Nie mam jeszcze wniosków na temat pochodzenia Covid-19 Najdokładniejsze systemy satelitarnego transferu czasu Ponad połowa chorych z SARS-CoV2 cierpi na długi covid Zintegrować informacje o logistyce Wystawa "Nie to niebo" Ograniczenie soli w diecie może być groźne Nie mam jeszcze wniosków na temat pochodzenia Covid-19 Najdokładniejsze systemy satelitarnego transferu czasu Ponad połowa chorych z SARS-CoV2 cierpi na długi covid Zintegrować informacje o logistyce Wystawa "Nie to niebo"

Partnerzy

GoldenLine Fundacja Kobiety Nauki Job24 Obywatele Nauki NeuroSkoki Portal MaterialyInzynierskie.pl Uni Gdansk MULTITRAIN I MULTITRAIN II Nauki przyrodnicze KOŁO INZYNIERÓW PB ICHF PAN FUNDACJA JWP NEURONAUKA Mlodym Okiem Polski Instytut Rozwoju Biznesu Analityka Nauka w Polsce CITTRU - Centrum Innowacji, Transferu Technologii i Rozwoju Uniwersytetu Akademia PAN Chemia i Biznes Farmacom Świat Chemii Forum Akademickie Biotechnologia     Bioszkolenia Geodezja Instytut Lotnictwa EuroLab

Szanowny Czytelniku!

 
25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r (RODO). Potrzebujemy Twojej zgody na przetwarzanie Twoich danych osobowych przechowywanych w plikach cookies. Poniżej znajdziesz pełny zakres informacji na ten temat.
 
Zgadzam się na przechowywanie na urządzeniu, z którego korzystam tzw. plików cookies oraz na przetwarzanie moich danych osobowych pozostawianych w czasie korzystania przeze mnie ze strony internetowej Laboratoria.net w celach marketingowych, w tym na profilowanie i w celach analitycznych.

Kto będzie administratorem Twoich danych?

Administratorami Twoich danych będziemy my: Portal Laboratoria.net z siedzibą w Krakowie (Grupa INTS ul. Czerwone Maki 55/25 30-392 Kraków).

O jakich danych mówimy?

Chodzi o dane osobowe, które są zbierane w ramach korzystania przez Ciebie z naszych usług w tym zapisywanych w plikach cookies.

Dlaczego chcemy przetwarzać Twoje dane?

Przetwarzamy te dane w celach opisanych w polityce prywatności, między innymi aby:

Komu możemy przekazać dane?

Zgodnie z obowiązującym prawem Twoje dane możemy przekazywać podmiotom przetwarzającym je na nasze zlecenie, np. agencjom marketingowym, podwykonawcom naszych usług oraz podmiotom uprawnionym do uzyskania danych na podstawie obowiązującego prawa np. sądom lub organom ścigania – oczywiście tylko gdy wystąpią z żądaniem w oparciu o stosowną podstawę prawną.

Jakie masz prawa w stosunku do Twoich danych?

Masz między innymi prawo do żądania dostępu do danych, sprostowania, usunięcia lub ograniczenia ich przetwarzania. Możesz także wycofać zgodę na przetwarzanie danych osobowych, zgłosić sprzeciw oraz skorzystać z innych praw.

Jakie są podstawy prawne przetwarzania Twoich danych?

Każde przetwarzanie Twoich danych musi być oparte na właściwej, zgodnej z obowiązującymi przepisami, podstawie prawnej. Podstawą prawną przetwarzania Twoich danych w celu świadczenia usług, w tym dopasowywania ich do Twoich zainteresowań, analizowania ich i udoskonalania oraz zapewniania ich bezpieczeństwa jest niezbędność do wykonania umów o ich świadczenie (tymi umowami są zazwyczaj regulaminy lub podobne dokumenty dostępne w usługach, z których korzystasz). Taką podstawą prawną dla pomiarów statystycznych i marketingu własnego administratorów jest tzw. uzasadniony interes administratora. Przetwarzanie Twoich danych w celach marketingowych podmiotów trzecich będzie odbywać się na podstawie Twojej dobrowolnej zgody.

Dlatego też proszę zaznacz przycisk "zgadzam się" jeżeli zgadzasz się na przetwarzanie Twoich danych osobowych zbieranych w ramach korzystania przez ze mnie z portalu *Laboratoria.net, udostępnianych zarówno w wersji "desktop", jak i "mobile", w tym także zbieranych w tzw. plikach cookies. Wyrażenie zgody jest dobrowolne i możesz ją w dowolnym momencie wycofać.
 
Więcej w naszej POLITYCE PRYWATNOŚCI
 

Newsletter

Zawsze aktualne informacje